已知圆o1和圆o2外切于C,直线AB分别切圆O1和O2 于B,A,AC的延长线交O1于D,AC:CD=1:3 求角ABC的度数

题目

已知圆o1和圆o2外切于C,直线AB分别切圆O1和O2 于B,A,AC的延长线交O1于D,AC:CD=1:3 求角ABC的度数

答案

连结BC,BD,过C做公切线CT交AB于T,则由切线长定理,AT=TC=TB,所以∠TAC=∠TCA,∠TCB=∠TBC,所以BC⊥AD,BD是○o1的直径,因为AB是○o1的切线,所以∠ABD是直角.因为Rt△ABC∽Rt△ADB,所以AC/AB=AB/AD.即AB²=ACAD,因为AC/CD=1/3,所以AD=4AC,所以AB=2AC.在Rt△ABC中sin∠ABC=AC/AB=1/2,所以∠ABC=30°.