已知三个正数a,b,c满足a2,b2,c2成等差数列,求证1/a+b,1/a+c,1/b+c也成等差数列.
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已知三个正数a,b,c满足a2,b2,c2成等差数列,求证1/a+b,1/a+c,1/b+c也成等差数列.
题目
已知三个正数a,b,c满足a
2
,b
2
,c
2
成等差数列,求证
1
a+b
答案
∵三个正数a,b,c满足a
2
,b
2
,c
2
成等差数列,
∴a
2
+c
2
=2b
2
,
∵
1
a+b
+
1
b+c
=
a+2b+c
(b+c)(a+b)
,
∴要使
a+2b+c
(b+c)(a+b)
=
2
a+c
成立,
则等价为2ab+2b
2
+2bc+2ac=a
2
+2ab+ac+ac+2bc+c
2
,
化简得2b
2
=a
2
+c
2
,此式成立,
∴结论成立.
综上证
1
a+b
,
1
a+c
,
1
b+c
也成等差数列.
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