将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
题目
将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
答案
设分成两段分别为x,L-x. 圆的半径为R,正方形的边长为a.
长为x的铁丝绕成圆, 那么 2πR=x ,解得R=x/2π
圆的面积=πR²=π(x/2π)²=x²/4π.
长为L-x的铁丝绕成正方形,那么4a=L-x,解得a=(L-x)/4
正方形的面积=a²=[(L-x)/4]²=(L-x)²/16
所以两者面积和=x²/4π+(L-x)²/16=(4+π)/16π ×[x-πL/(4+π)]²+(π+3)L²/16(π+4)
所以当x=πL/(4+π)时,两者面积和取得最小值为 (π+3)L²/16(π+4)
此时绕成圆的铁丝长=x=πL/(4+π)
绕成正方形的铁丝长=L-x=L-πL/(4+π)
即将长为L的铁丝分成πL/(4+π)和L-πL/(4+π)分别绕成圆和正方形时,两者面积最小.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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