实数a,b满足实数a,b满足a³+b³+3ab=1,求a+b的值

题目

实数a,b满足实数a,b满足a³+b³+3ab=1,求a+b的值
a的三次方）

答案

由题意得：（a+b）（a^2+b^2-ab）+3ab=1
（a+b）[（a+b）^2-3ab]+3ab=1
（a+b）（a+b）^2-3ab（a+b）+3ab-1=0
[（a+b）^3-1]-3ab（a+b-1）=0
（a+b-1）[（a+b）^2+1+a+b]-3ab（a+b-1）=0
（a+b-1）[（a+b）^2+1+a+b-3ab]=0
∴（a+b-1）=0或（a+b）^2+1+a+b-3ab=0,
由（a+b）^2-3ab+（a+b）+1=0整理得：a^2-（b-1）a+（b^2+b+1）=0,
又∵a,b是实数,所以上述方程有实数解,
△=（b-1）^2-4（b^2+b+1）≥0
也就是：（b+1）^2≤0,
故：b=-1,代入上式解得a=-1,
所以此时a+b=-2；
综上所述可得：a+b=1或a+b=-2．