一个数学分析证明题

题目

一个数学分析证明题
证明：f(x)在[0,+∞]上连续可微,|f`(x)|≤常数C=>f(x)在[0,+∞]上一致连续=>f^2（x）在[0,+∞]上一致连续.
困扰我的是f(x)在[0,+∞]上的有界性是否成立?

答案

不一定成立,最简单的例子就是f(x)=x,一致连续但不是有界.
另外,由f(x)一致连续怎么能推出f^2(x)一致连续?