已知二次型f(x1,x2,x3)=(x1)^2+a(x2)^2+(x3)^2+2bx1x2+2x1x3+2x2x3经过正交变换

题目

已知二次型f(x1,x2,x3)=(x1)^2+a(x2)^2+(x3)^2+2bx1x2+2x1x3+2x2x3经过正交变换
（x1 x2 x3）=P（y1 y2 y3）化成了标准型f=(y2)^2+4(y3)^2,求a,b的值和正交矩阵P.

答案

二次型f的矩阵 A=1 b 1b a 11 1 1相似于对角矩阵 B=diag(0,1,4).所以 tr(A)=2+a=tr(B)=5,且 |A|=|B|=0所以 a=3.所以 |A|=-(b-1)^2所以 b=1.所以 A=1 1 11 3 11 1 1且A的特征值为0,1,4.AX=0的基础解系为 a1=(1,0,-1)^...