若x,y,z,w是不全为零的实数,求xy+2yz+zw/x^2+y^2+z^2+w^2的最小值

题目

若x,y,z,w是不全为零的实数,求xy+2yz+zw/x^2+y^2+z^2+w^2的最小值

答案

设α、β、γ>0,则有
α^2x^2+y^2≥2αxy,
β^2y^2+z^2≥2βyz
γ^2z^2+w^2≥2rzw.
∴xy+2yz+zw
≤(α/2)x^2+(1/2α+β)y^2+(1/β+γ/2)z^2+(1/2γ)w^2.
令α/2=1/2α+β=1/β+γ/2=1/2γ,
解得,α=1+根2.
∴(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)≤(1+根2)/2.
又当x=w=1,y=z=1+根2时上式等号成立.
故所求最大值为:(1+根2)/2.
这题构造思想很难想到