无限集必与它的一个真子集对等

题目

无限集必与它的一个真子集对等
请帮忙证明下,要严格证明,别举例说明,

答案

引理：无限集必定有可列子集.
证明：若A是无限集,那么任取x_1属于A,A{x_1}仍然是无限集,可以从中取出x_2……A{x_1,x_2,...,x_n}仍然是无限集,可以从中取出x_(n+1),……
这样就证明了{x_1,x_2,...}是A的一个可列子集.
接下来就好办了：
如果A是无限集,X={x_1,x_2,...}是A的可列子集,那么可以做A和A{x_1}的双射f：
如果y属于X,那么存在i使得y=x_i,令f(y)=x_(i+1)
如果y不属于X,那么令f(y)=y.