在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b²+c²-a²=√3bc且（1+√3）c=2b.(1)求∠C

题目

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b²+c²-a²=√3bc且（1+√3）c=2b.(1)求∠C
（2）若S△ABC=1+√3/2,求三角形的三边a,b,c

答案

因为a²=b²+c²-2bccosA,而b²+c²-a²=√3bc,则有cosA=根号3/2,A=30°
（1+√3）c=2b,则b/c=（1+根号3）/2=sinB/sinC=sin（π-C-A）/sinC=sin（C+30°）/sinC
则tgC=1,则∠C=45°
因为S△ABC=1/2bcsinA=bc/4=（1+√3）/2,而（1+√3）c=2b,则联解方程有
c=2,b=1+√3,则a=√2