给定双曲线x2−y22=1,过点B(1,1)能否作直线l,使直线l与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

给定双曲线x2−y22=1,过点B(1,1)能否作直线l,使直线l与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

题目
给定双曲线x2
y2
2
=1
,过点B(1,1)能否作直线l,使直线l与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1(当k存在时)或x=1(当k不存在时).
(1)当k存在时,有
y=k(x−1)+1
x2
y2
2
=1

得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,
∴k<
3
2

设P(x1,y1),Q(x2,y2
∴x1+x2=
2(k−k 2)
2−k2
,又B(1,1)为线段PQ的中点
x1+x 2
2
=1 即
2(k−k 2)
2−k2
=1
∴k=2
当k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程(1)无实数解
故过点B(1,1)与双曲线交于两点P、Q且B为线段PQ中点的直线不存在.
(2)当k不存在时,即当x=1时,直线经过点B,但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在.
先假设存在这样的直线l,分类讨论:斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,①当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,可求k的范围,再由B是线段PQ的中点,则
x1+x 2
2
=1,可求k,看是否矛盾,②当k不存在时,直线经过点B但不满足条件,故符合条件的直线l不存在,综合可求

双曲线的简单性质.

本题考察了直线与双曲线的位置关系,特别是相交时的中点弦问题,方程的根与系数关系的应用,及利用方程思想判断直线与曲线位置关系

举一反三
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