已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且PA•AQ=0,QM=2AQ.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
题目
已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且
•=0,
=2.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
答案
设Q(a,0),A(0,b),M(x,y)是曲线上任意一点,则
=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),(4分)
∴
•=3a-b2=0…①,(6分)
∵
=2,可得
∴…②(8分)
将②代入①,化简得y
2=4x. (10分)
所以动点M的轨迹方程为y
2=4x.(12分)
设Q(a,0),A(0,b),M(x,y)是曲线上任意一点,由
•=0建立关系式得到3a
2-b
2=0.由等式
=2解出a、b关于x、y的表达式,代入前一个式子化简即得动点M的轨迹方程.
向量在几何中的应用.
本题给出动点满足的条件,求动点轨迹方程.着重考查了向量的线性运算、向量的数量积和动点轨迹方程的求法等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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