设p是大于3的质数,求证：11p^2+1是12的倍数

题目

设p是大于3的质数,求证：11p^2+1是12的倍数
同上

答案

11p^2+1=(12-1)*p^2+1=12*p^2-(p^2-1)
考察p^2-1=(p+1)(p-1)
由于p为质数,即为奇数,故p-1,p+1都为偶数,故p^2-1能整除4
p为质数,即p不为3的倍数,故p-1与p+1必有一个为3的倍数,即p^2-1能整除3
故p^2-1能整除3*4=12
故11p^2+1能整除12