f(x)=∫(2x,0)f(t/2)dt+in2 求f(x)

题目

f(x)=∫(2x,0)f(t/2)dt+in2 求f(x)

答案

f(x)=∫(2x,0)f(t/2)dt+in2 ,令u=t/2,则
f(x) = 2∫ (x,0)f(u)du+ln2 （1）
两边同时对x求导得：
f'(x)=2f(x)
即df(x)/dx= 2f(x)
df(x)/f(x)=2dx
两边同时积分得
lnCf(x)=2x,C为常数
f(x)=C1 e^(2x),C1为常数
式（1）令x=0的,f(0)=ln2
f(x)= C1 e^(2x)令x=0,得f(x)=C1,
故C1=ln2
所以f(x)=ln2 *e^(2x)