用数学归纳法证明等式:n∈N,n≥1,1−1/2+1/3−1/4+…+1/2n−1−1/2n=1/n+1+1/n+2+…+1/2n.
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用数学归纳法证明等式:n∈N,n≥1,1−1/2+1/3−1/4+…+1/2n−1−1/2n=1/n+1+1/n+2+…+1/2n.
题目
用数学归纳法证明等式:n∈N,n≥1,
1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+…+
1
2n−1
−
1
2n
=
1
答案
证明:(1)当n=1时,左=
1−
1
2
=
1
2
=右,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,
即
1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+…+
1
2k−1
−
1
2k
=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
2k
则
1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+…+
1
2k−1
−
1
2k
+(
1
2k+1
−
1
2k+2
)
=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
2k
+(
1
2k+1
−
1
2k+2
)
=
1
k+2
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
∴当n=k+1时,等式也成立.
综合(1)(2),等式对所有正整数都成立.
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