已知二次函数f（x）的二次项系数a,且f（x）>-x的解集为(1,2),若f（x）的最大值为正数,则a的取值范围为?

题目

已知二次函数f（x）的二次项系数a,且f（x）>-x的解集为(1,2),若f（x）的最大值为正数,则a的取值范围为?
RT,怎么网上答案都不一样

答案

设f（x）=ax2+bx+c,（a＜0）,由题意得方程f（x）=-x两个根是1,2,
即ax2+（b+1）x+c=0两个根是1,2．
∴（b+1）/2 a=3/2 c/ a=2
∴b=-3a-1,c=2a
又f（x）的最大值为正数,即
4ac-b²/4a＞0
消去b,c得到关于a不等式,
解得a的取值范围是(-∞,-3-√2)∪(-3+√2,0).