设x，y，z∈R，2x+2y+z+8=0，则（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2之最小值为 _ ．

题目

设x，y，z∈R，2x+2y+z+8=0，则（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²之最小值为 ___ ．

答案

由柯西不等式可得：[（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²]（2²+2²+1²）≥[2（x-1）+2（y+2）+1•（z-3）]²=（2x+2y+z-1）²=（-8-1）²，
化为（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²≥9，当且仅当

x-1

2

=

y+2

2

=

z-3

1

，且2x+2y+z+8=0，即x=-1，y=-4，z=2时取等号．
故（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²之最小值为9．
故答案为9．