如果在闭区间[a,b]上,f（x）>0,那么能推出f（x）在a,b上的定积分大于零么?

题目

如果在闭区间[a,b]上,f（x）>0,那么能推出f（x）在a,b上的定积分大于零么?
书上的条件是大于等于零,结论也是大于等于零.我在想如果都改成大于零是否结论依旧成立.我的想法是,用积分中值定理,把定积分化为f（可噻）乘（b－a）.因为f（可噻）>0,b－a>0.所以原来的定积分也大于零,这样证正确么?

答案

如果f可积,这个结论是对的.但用积分中值定理来证,需要f连续.