导函数f(x)=-1/3x^3+ax^2+bx在区间【-1,2】单调递增

题目

导函数f(x)=-1/3x^3+ax^2+bx在区间【-1,2】单调递增
1.求常熟a,b需满足的条件及点（a,b)存在的区域；
2.若f(x)在区间（-∞,-1】,【2,+∞）上单调递减,求常数a,b的值.

答案

为书写方便,记函数f（x）的导数为g（x）,min表示最小
1.由求导法则得 g(x)=-x²+2ax+b 对称轴直线x=a,
∵f（x)在[-1,2]单调递增
∴g（x）=-x²+2ax+b≥0在[-1,2]上恒成立 即g（x）（min）≥0
①当-1＜a＜2时 因为g（-1)=b-1-2a g(2)=b+4a-4
当1/2＜a＜2时 g（x）最小值是b-1-2a ≥0 即b≥1+2a
当-1＜a≤1/2时 g（x）最小值是b+4a-4≥0 即b≥4-4a
②当a≥2时 g（x)在[-1,2]单调递增,所以b≥1+2a
③当a≤-1时 g（x)在[-1,2]单调递减 所以b≥4-4a
综合①②③可得 当a＞1/2时 a,b满足条件是b≥1+2a
当a≤1/2时 a,b满足条件是b≥4-4a
区域自己会画吧.
（2）g(-1）=0 g（2）=0
可解得a,b