在数列{an}中,Sn为其前n项和,满足Sn=kan+n2-n(k∈R,n∈N*).(Ⅰ)若k=1,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{an-2n-1}为公比不为1的等比数列,求Sn.

在数列{an}中,Sn为其前n项和,满足Sn=kan+n2-n(k∈R,n∈N*).(Ⅰ)若k=1,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{an-2n-1}为公比不为1的等比数列,求Sn.

题目
在数列{an}中,Sn为其前n项和,满足Sn=kan+n2-n(k∈R,n∈N*).
(Ⅰ)若k=1,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{an-2n-1}为公比不为1的等比数列,求Sn
答案
(1)当k=1时,Sn=an+n2-n,
∴Sn-1=n2-n,(n≥2),
∴Sn=(n+1)2-(n+1)=n2+n(n≥1)
∴当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,
所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).
( II)当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=kan-kan-1+2n-2,
∴(k-1)an=kan-1-2n+2,a1=S1=ka1
若k=1,则an-2n-1=-1,
从而{an-2n-1}为公比为1的等比数列,不合题意;
若k≠1,则a1=0,a2=
2
1-k
,a3=
4-6k
(1-k)2
,a1-3=-3,a2-5=
5k-3
1-k
,a3-7=
-7k2+8k-3
(k-1)2

由题意得,(a2-5)2=(a1-3)(a3-7)≠0,
∴k=0或k=
3
2

当k=0时,Sn=n2-n,an=2n-2,an-2n-1=-3,不合题意;
当k=
3
2
时,an=3an-1-4n+4,从而an-2n-1=3[an-1-2(n-1)-1],
∵a1-2×1-1=-3≠0,an-2n-1≠0,{an-2n-1}为公比为3的等比数列,
∴an-2n-1=-3n
∴an=2n-3n+1,
∴Sn=n2+2n-
3n+1
2
+
3
2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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