求函数f(x)=x的平方-2ax-1在区间[0,2]上的最大(小)值

题目

求函数f(x)=x的平方-2ax-1在区间[0,2]上的最大(小)值

答案

f(x)=x²-2ax-1
=(x-a)²-a²-1
所以
当a＜0时,f(x)在[0,2]为单调递增的,所以
f(x)的最大值为f(2)=3-4a,最小值为f(0)=-1
当0≤a≤2时,f(x)在[0,a]上为单调递减的,在[a,2]上是单调递增的；
于是f(x)的最小值为f(a)=-a²-1
而f(x)的最大值需要进一步讨论,当0≤a≤1时为f(2)=3-4a,当1＜a≤2时,为f(0)=-1
当a＞2时,f(x)在[0,2]上为单调递减的,所以
f(x)的最大值为f(0)=-1,最小值为f(2)=3-4a.