如图ABC是圆O的一条折弦,BC>AB,D是ABC弧的中点,DE⊥BC,垂足为E,求证；若连结DC,DB,则DC^2-DB^2=AB*BC

题目

如图ABC是圆O的一条折弦,BC>AB,D是ABC弧的中点,DE⊥BC,垂足为E,求证；若连结DC,DB,则DC^2-DB^2=AB*BC

答案

连DA,AC,DC,作DF=DB,F在BC上,就有等腰三角形DFB.
在图中有Rt三角形DEC和Rt三角形DEB,由勾股定理得
CD^2=CE^2+DE^2,DB^2=DE^2+BE^2,
DC^2-DB^2=CE^2+DE^2-DE^2-BE^2=CE^2-BE^2
=（CE-BE)(CE+BE)=(CE-BE)*BC=BC*AB
所以只要证AB=CE-BE.
在圆内有圆周角∠DFB=∠DBC=∠DAC,∠DCB=∠DAB,∠BCA=∠BDA,
∵D是ABC弧的中点,∴CD=AD,∠DCA=∠DAC,
∠DCA=∠DCB+∠BCA=∠DAC=∠DBC=DFB=∠DCB+∠CDF,∴∠BCA=∠CDF,
∴∠BDA=∠CDF,又∵CD=AD,DF=DB,∴三角形CDF≌三角形ADB,
∴CF=CE-EF=CE-BE=AB.