已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.
题目
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.
答案
由已知,可得f(1)=1-3a+2b=-1①,
又f'(x)=3x
2-6ax+2b,
∴f'(1)=3-6a+2b=0,②
由①,②,解得
a=,b=−.
故函数的解析式为f(x)=x
3-x
2-x.
由此得f'(x)=3x
2-2x-1,根据二次函数的性质,当
x<−或x>1时,f'(x)>0;
当
−<x<1,f'(x)<0.
∴函数f(x) 在
(−∞,−)和(1,+∞)上单调递增,在
(−,1)单调递减
∴当
x=−时,f(x)取得极大值,
f(x)极大值=根据函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值.
利用导数研究函数的极值.
本题主要考查函数的导数与极值之间的关系,属于导数的应用,比较基础.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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