已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.

已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.

题目
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.
答案
由已知,可得f(1)=1-3a+2b=-1①,
又f'(x)=3x2-6ax+2b,
∴f'(1)=3-6a+2b=0,②
由①,②,解得a=
1
3
,b=−
1
2

故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.
由此得f'(x)=3x2-2x-1,根据二次函数的性质,当x<−
1
3
或x>1时,f'(x)>0;
1
3
<x<1
,f'(x)<0.
∴函数f(x) 在(−∞,−
1
3
)和(1,+∞)
上单调递增,在(−
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3
,1)
单调递减
∴当x=−
1
3
时,f(x)取得极大值,f(x)极大值
5
27
根据函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值.

利用导数研究函数的极值.

本题主要考查函数的导数与极值之间的关系,属于导数的应用,比较基础.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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