已知函数f(x)=34−x+4x−3,则函数f(x)的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.不存在
题目
已知函数f(x)=3
+4
,则函数f(x)的最大值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 不存在
答案
要使函数有意义,则
,即3≤x≤4,
则0≤x-3≤1,0≤4-x≤1,且4-x+x-3=1,
∴可设4-x=sin
2θ,则cos
2θ=x-3,0≤θ≤90°
则F(x)=3sina+4cosa=5sin(a+b)
则函数f(x)等价为y=3sinθ+4cosθ=5(
sinθ+
cosθ),
令
cosα=,sinα=,
则y=3sinθ+4cosθ=5(
sinθ+
cosθ)=5(sinθcosα+cosθsinα)=5sin(θ+α),
∴当θ+α=90°时,函数取的最大值5,
故选:C.
先求函数的定义域,然后利用三角还原法转化为三角函数,利用三角函数的性质即可求函数的最大值.
在实际问题中建立三角函数模型;函数的最值及其几何意义.
本题主要考查函数最值的求法,根据函数式子的特点,利用三角换元法是解决本题的关键,要求熟练掌握辅助角公式的应用,综合性较强,难度较大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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