已知函数f(x)=34−x+4x−3,则函数f(x)的最大值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.不存在

已知函数f(x)=34−x+4x−3,则函数f(x)的最大值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.不存在

题目
已知函数f(x)=3
4−x
+4
x−3
,则函数f(x)的最大值为(  )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 不存在
答案
要使函数有意义,则
4−x≥0
x−3≥0
,即3≤x≤4,
则0≤x-3≤1,0≤4-x≤1,且4-x+x-3=1,
∴可设4-x=sin2θ,则cos2θ=x-3,0≤θ≤90°
则F(x)=3sina+4cosa=5sin(a+b)
则函数f(x)等价为y=3sinθ+4cosθ=5(
3
5
sinθ+
4
5
cosθ),
cosα=
3
5
,sinα=
4
5

则y=3sinθ+4cosθ=5(
3
5
sinθ+
4
5
cosθ)=5(sinθcosα+cosθsinα)=5sin(θ+α),
∴当θ+α=90°时,函数取的最大值5,
故选:C.
先求函数的定义域,然后利用三角还原法转化为三角函数,利用三角函数的性质即可求函数的最大值.

在实际问题中建立三角函数模型;函数的最值及其几何意义.

本题主要考查函数最值的求法,根据函数式子的特点,利用三角换元法是解决本题的关键,要求熟练掌握辅助角公式的应用,综合性较强,难度较大.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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