已知在正△ABC中,AB=4,点M是射线AB上的任意一点(点M与点A、B不重合),点N在边BC的延长线上,且AM=CN.连接MN,交直线AC于点D.设AM=x,CD=y. (1)如图,当点M在边AB上
题目
已知在正△ABC中,AB=4,点M是射线AB上的任意一点(点M与点A、B不重合),点N在边BC的延长线上,且AM=CN.连接MN,交直线AC于点D.设AM=x,CD=y.
(1)如图,当点M在边AB上时,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当点M在边AB上,且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时,求x的值.
(3)过点M作ME⊥AC,垂足为点E.当点M在射线AB上移动时,线段DE的长是否会改变?请证明你的结论.
答案
(1)过点M作MF∥BC交AC于F,
∴∠FMD=∠CND,∠MFD=∠NCD,∠AMF=∠B.
∵△ABC为正三角形,
∴∠A=∠B=60°,AB=AC=4.
∴∠AMF=∠B=60.
∴△AMF是等边三角形,
∴AM=AF=MF.
∵AM=CN,
∴MF=CN.
在△MFD和△NCD中,
,
∴△MFD≌△NCD(ASA),
∴FD=CD=y.
∴AF=4-2y,
∵AM=MF=x=4-2y,
∴y=
(0<x<4);
(2)∵△MFD≌△NCD,
∴S
△MFD=S
△NCD.
∵S
四边形BCDM=4S
△MFD,
∴S
四边形BCDM=4S
△MFD,
∴S
梯形MBCF=5S
△MFD.
∵△MFD≌△NCD,
∴MF和CN边上的高相等为h,
∴梯形MBCF的高为2h.
∴
=5×
,
∴x=
.
答:x=
;
(3)线段DE的长不会改变.
(i)当点M在边AB上时,点D在边AC上,
∵∠AEM=90°,∠A=60°,AM=x,∴AE=
x,
∴DE=4-
x-y=4-
x-(-
x+2)=2,
(ii)当点M在边AB的延长线上时,点D在边AC的延长线上,
过点M作MP∥AC,交直线BC于点P,
∴MP=BM=BP=x-4,
∴CP=CN=x,
∴CD=
x-2,
∴AD=4+
x-2=
x+2,
又∵AE=
x,∴DE=AD-AE=
x+2-
x=2,
综上所述,DE=2,即线段DE的长不会发生变化.
(1)过点M作MF∥BC交AC于F,由三角形的性质可以得出△MFD≌△NCD,就可以得出FD=CD,就有AF=MF=AM=4-2x而得出结论;
(2)由△MFD≌△NCD可以得出S△MFD=S△NCD,就有S四边形BCDM=4S△MFD,就可以得出S梯形MBCF=5S△MFD,设△MFD的MF边上的高为h,就有梯形MBCF的高为2h,根据梯形MBCF的面积与△MFD的面积的关系建立方程求出其解即可;
(3)根据等边三角形的性质由勾股定理就可以表示出DE的值,从而求出结论.
相似形综合题.
本题考查了等边三角形的性质及判定的运用,全等三角形的判定及性质的运用,三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用,解答时灵活运用等边三角形的性质是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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