设函数f(x)在[-a,a]上连续,在（-a,a)内可导,且f(-a)=f(a),a>0.试证明在（-a,a)内至少存在一点m,使得f...

题目

设函数f(x)在[-a,a]上连续,在（-a,a)内可导,且f(-a)=f(a),a>0.试证明在（-a,a)内至少存在一点m,使得f...
设函数f(x)在[-a,a]上连续,在（-a,a)内可导,且f(-a)=f(a),a>0.试证明在（-a,a)内至少存在一点m,使得f(m)的导数＝2mf(m).

答案

设 g(x)=f(x)*e^(-x^2)
则g(a)=g(-a)
于是存在（-a,a)内一点m,使得
g'(m)=0,计算g‘（m) 即得：
f'(m)＝2mf(m).