在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2+3bc，若a=3，S为△ABC的面积，则S+3cosBcosC的最大值为（　　） A.2 B.3 C.2 D.3

题目

在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a²=b²+c²+

3

bc，若a=

3

，S为△ABC的面积，则S+3cosBcosC的最大值为（　　）
A.

2

B. 3
C. 2
D.

3

答案

∵a²=b²+c²+

3

bc，
∴cosA=

b2+c2−a2

2bc

=-

3

2

，
∴A=

5π

6

，
由正弦定理 c=a•

sinC

sinA

，
∴S=

acsinB

2

2=a²

sinBsinC

2sinA

=3sinBsinC
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C）≤3，
故选B．

先利用余弦定理求得A，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+3cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．

本题考点：正弦定理；余弦定理．

考点点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键．