如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证： （1）E，C，D1，F四点共面； （2）CE，D1F，DA三线共点．

题目

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点．求证：

（1）E，C，D₁，F四点共面；
（2）CE，D₁F，DA三线共点．

答案

证明：（1）连接EF，A₁B，D₁C，
∵E，F分别是AB，AA₁的中点，
∴EF∥A₁B，A₁B∥D₁C，
∴EF∥D₁C，
∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D₁，F四点共面．
（2）分别延长D₁F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA⊂面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA₁的中点，FA∥D₁D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D₁F，DA三线共点于P．