已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对任意的x∈[1/3,2],都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围.

已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对任意的x∈[1/3,2],都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围.

题目
已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对任意的x∈[
1
3
,2]
,都有|f(x)|≤1成立,试求a的取值范围.
答案
依题意,当0<a<1时,f(x)=logax在[
1
3
,2]上单调递减,
loga
1
3
>0,loga2<0,|f(x)|≤1,
loga
1
3
≤1
−loga2≤1
,解得0<a≤
1
3

当a>1时,同理可得
−loga
1
3
≤1
loga2≤1
,解得a≥3.
综上所述,a的取值范围为(0,
1
3
]∪[3,+∞).
当0<a<1时,f(x)=logax在[
1
3
,2]上单调递减;当a>1时,f(x)=logax在[
1
3
,2]上单调递增;结合题意|f(x)|≤1即可求得a的取值范围.

绝对值不等式的解法.

本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想,突出对数函数单调性的考查应用,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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