已知椭圆C：X的平方/a的平方 +y的平方/b的平方（a＞b＞0）的离心率为1/2、以原点为圆心、椭圆的短半轴为半

题目

已知椭圆C：X的平方/a的平方 +y的平方/b的平方（a＞b＞0）的离心率为1/2、以原点为圆心、椭圆的短半轴为半
半径的圆与直线x-y+根号6=0相切 （1）求椭圆的方程

答案

x²/a²+y²/b²=1的离心率e=1/2
e=c/a=√(a²-b²)/a=1/2
所以b=(√3/2)a
以原点为圆心、椭圆的短半轴为半径的圆为x²+y²=b²
圆与直线x-y+√6=0相切,所以圆心(0,0)到直线的距离等于半径b
所以b=|0-0+√6|/√2=√3
所以a=2
所以椭圆的方程为x²/4+y²/3=1