三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a 角PAB=角PAC=角BAC=60度,求这个三棱锥的体积

题目

三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a 角PAB=角PAC=角BAC=60度,求这个三棱锥的体积

答案

三角形PAB中,
PB²=PA²+AB²-2PA.ABcos60°
PB²=a²+4a²-2*a*2a*(1/2)=3a²
PB²=AB²-PA²
所以 AP⊥PB
同理 AP⊥PC
所以 AP⊥平面PBC
三角形PBC中,PB=PC=√3a,BC=2a
所以 BC边上的高为√2a
所以 三角形PBC的面积为2a*√2a/2=√2a²
将PBC当底面,则高为PA
V=√2a²*a/3=√2a³/3