概率论习题

题目

概率论习题
1.设随机变量X~N（0,1）,求Y=|X|的密度函数.
2.设X服从参数为2的指数分布,试证明：Y=1-e^(-2X)服从区间【0,1】上的均衡分布.

答案

1、用分布函数法求
F（y）＝P（｜x｜＜y）
当y≤0时,F（y）＝0
当y＞0时,F（y）＝∫〔1／√ （2π）〕＊e＾〔－（x＾2／2）〕＊dx
（－y≤x≤y）
当y≤0时,F’（y）＝0
当y＞0时,F’（y）＝〔2／√ （2π）〕＊e＾〔－（y＾2／2）〕
2、仍是用分布函数法求
F（y）＝P（1-e^(-2X)＜y）
＝P｛e^(-2X)＞1－y｝
＝P｛-2X＞ln（1－y）｝
＝P｛X＜－〔ln（1－y）〕／2｝
当－〔ln（1－y）〕／2＜0时,即y＜0 F（y）＝0
当－〔ln（1－y）〕／2≥0时,即0≤y≤1 时
F（y）＝∫2e＾（－2x）＊dx＝y
｛0≤X≤－〔ln（1－y）〕／2｝
当y＞1时,F（y）＝0
所以Y=1-e^(-2X)服从区间【0,1】上的均衡分布