数学归纳法：归纳—猜想—论证

题目

数学归纳法：归纳—猜想—论证
1.依次计算（1-1/2）,（1-1/2）（1-1/3）,（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）,……的值；根据计算的结果,猜想Tn=（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）…[1-1/(n+1)}的表达式,并用数学归纳法加以证明
2.已知数列：1/1*2,1/2*3,1/3*4,…,1/n*(n+1),…,设Sn为该数列的前n项和,计算S1,S2,S3,S4的值；根据计算的结果,猜想Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+…+1/n(n+1)的表达式,并用数学归纳法加以证明
3.已知数列{an}满足：a1=1,a(n+1)=3an/(an+3),an不等于0,(1)求a2、a3、a4；(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明

答案

1.依次计算（1-1/2）,（1-1/2）（1-1/3）,（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）,……的值；根据计算的结果,猜想Tn=（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）…[1-1/(n+1)}的表达式,并用数学归纳法加以证明
（1-1/2)=1/2
（1-1/2）（1-1/3）=1/3
(1-1/2）（1-1/3）（1-1/4)=1/4
Tn=1/n+1
假设Tk=1/k+1
Tk+1=(1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）…[1-1/(k+1)]=Tk*k/k+1=1/k+1
Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+…+1/n(n+1)
=1-1/n+1
a(n+1)=3an/(an+3),
1/an+1-1/an=1/3
1/an=1/3*n+2/3
an=3/2+n