在RT△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B∠C的对边,若a+b=cx,则x的取值范围

题目

在RT△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B∠C的对边,若a+b=cx,则x的取值范围

答案

解析：
因为a+b>c,且a+b=cx
所以cx>c
则x>1 （1）
又a+b=cx且a²+b＝c²
所以a²+2ab+b²=c²x²
即2ab=c²x²-(a²+b²)=(a²+b²)(x²-1)
由均值定理得a²+b²≥2ab (当且仅当a＝b时取等号)
所以a²+b²≥(a²+b²)(x²-1)
即x²-1≤1
x²≤2
解得－√2≤x≤√2 （2）
所以由（1）（2）可得：
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