已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100(n属于N*)的图像顶点到y轴的距离构成数列{an},求数列{an},求数列{an}的前n项和Sn

题目

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100(n属于N*)的图像顶点到y轴的距离构成数列{an},求数列{an},求数列{an}的前n项和Sn

答案

f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100=x²-2（10-3n）x+9n²-60n+100-n
=x²-2（10-3n）x+(3n-10)²-n=（x-10+3n)²-n
顶点到y轴的距离构成数列{an},an=|3n-10|
当10-3n>0时：n<=3
当10-3n<0时：n>=4
所以若1<=n<=3,则|an|=an
Sn=10n-3*n(n+1)/2
若n>=4,则前3项和=7+4+1=12
|an|=3n-10
则从第4项到第n项
是以2为首项,3为公差的等差数列,项数=n-3
和=2(n-3)+(n-3)(n-4)*3/2
所以Sn=12+2(n-3)+(n-3)(n-4)*3/2
所以Sn=10n-3*n(n+1)/2（n=<3）或sn=2(n-3)+(n-3)(n-4)*3/2 (n>3)分二段表示