设ΔABC的内角A,B,C所对的边长为a,b ,c 且acosB－bcosA＝(3／5)C

题目

设ΔABC的内角A,B,C所对的边长为a,b ,c 且acosB－bcosA＝(3／5)C
⑴求tanA／tanB的值
⑵求tan﹙A－B﹚的最大值

答案

利用余弦定理将角换为边的关系;
由acosB－bcosA＝(3／5)c得到a*(a²+c²-b²)/(2ac)-b*(b²+c²-a²)/(2bc)=(3/5)c
化简即a²-b²=(3/5)c²
tanA／tanB=(sinA/sinB)*(cosB/cosA)=(acosB)/(bcosA)=(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)=4
tan﹙A－B﹚=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=(tanA／tanB-1)/(1/tanB+tanA)=3/(1/tanB+tanA)=
3/(1/tanB+4tanB)
l利用均值不等式1/tanB+4tanB≥2√[(1/tanB)*(4tanB)]=4
∴tan(A-B)≤3/4 当且仅当1/tanB=4tanB 即tanB=1/2时等号成立
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