已知圆C:(x+1)^2+y^2=8

题目

已知圆C:(x+1)^2+y^2=8
定点(1,0) M为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足向量AM=2向量AP,向量NP点乘向量AM=0 求电N的轨迹的内接矩形的最大面积~
定点A(1,0)

答案

根据已知条件可知
PN是AM中垂线,故MN=AN,所以
CM=CN+AN=2√2,故N点轨迹为以A、C为焦点的椭圆,有
c=1,a=√2,可得b=1,故
点N轨迹方程曲线为x^2/2+y^2=1
此椭圆的参数方程为：x＝√2sint,y＝cost
设点Z在第一象限,点Z的坐标为（√2sint,cost）
则由P点构成的椭圆内接矩形的长为2√2sint,宽为2cost
则椭圆内接矩形的面积S＝2√2sint·2cost＝2√2sin2t
因为Z在第一象限,所以0≤sin2t≤1,所以0≤S≤2√2
因此椭圆内接矩形面积的最大值为2√2