求关于幂指函数的两个简单结论的证明过程

题目

求关于幂指函数的两个简单结论的证明过程
1.limf(x)=a (a>0),limg(x)=b,证明 limf(x)^g(x)=a^b
2.limf(x)=1,limg(x)=无穷,证明limf(x)^g(x)=e^(lim(f(x)-1)*g(x))
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答案

1.limf(x)^g(x) = lim exp(g(x)lnf(x)) = exp(lim(g(x)lnf(x))) = exp(blna) = exp(lna^b)=a^b.
2.limf(x)^g(x)=lim(1+(f(x)-1))^g(x) 又基本不等式lim(1+1/x)^x=e可得:原式=e^(lim(f(x)-1)*g(x))