运用施密特法将向量组正交化,为什么将向量组正交化什么时候要单位化,什么时候不要

题目

运用施密特法将向量组正交化,为什么将向量组正交化什么时候要单位化,什么时候不要

答案

在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基.Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基.
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法.在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）.
在数值计算中,Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差.因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化.