解析几何题

题目

解析几何题
已知三角形ABC中,A点的坐标为(4,5),B点在x轴上,C点在直线l:2x-y+2=0上.求三角形ABC的周长的最小值,并求B和C的坐标

答案

A点(4,5),点A关于直线l:2x-y+2=0对称的点为D,设D(x,y)
则点D(x,y)与点A(4,5)的中点在直线2x-y+2=0上
有x+4-1/2(y+5)+2=0
直线AD一定垂直于直线2x-y+2=0
则（y-5)/(x-4)=-1/2
联立前式,得D点坐标为（0,7)
根据对称原理,△ABC的周长的最小值 =AC+BA+BC=DC+CD+CA=DB+BA
即DB+BA的最小值,
同理,可设点D关于x轴的对称点E
则E坐标为（0,-7）
直线EA与x轴交于一点,当点B处在这个点时,DB+BA取得最小值
此时DB+BA=EA=4根号10,周长最小值为4根号10
此时B点坐标为(7/3,0),C点为直线DB与直线2x-y+2=0的交点
C点坐标为(1,4）