试证三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.

题目

试证三条不同直线ax+by+c=0 bx+cy+a=0 cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.

答案

1,充分性：将命题转化为三个方程式公共解的条件是a+b+c=0
则有将三个方程式相加得（a+b+c)x+（a+b+c)y+a+b+c=0
当a+b+c不为0时x+y+1=0代入1式方程有a=1,b=1c=1与2,3方程式是同一式,
又因为三条直线不相同,所以a+b+c=0
2,必要性：a+b+c=0则三个方程有同一解
将三个方程式相加得（a+b+c)x+（a+b+c)y+a+b+c=0
因为a+b+c=0等式两边成立,所以三个方程式有同解
综合1,2可证三条不同直线相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.