已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和

题目

已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和
①设bn=a2n,证明：数列{bn}是等比数列
②求T2n
③不等式64T2n乘a2n≤3(1-ka2n)对一切n∈N*恒成立,求实数k的最大值

答案

①an×a(n+1)=(1/2)^n,a(n-1)×an=(1/2)^(n-1)两式相除,得：a(n+1)/a(n-1)=1/2,那么a(n+2)/an=1/2而bn=a2n,b(n+1)=a(2n+2),所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2,为常数而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2,所以数列{bn}是以1/2为首项、...