求证3/2

题目

求证3/2

答案

(1+1/2n)^n=1+C(n,1)*1/2n+C(n,2)*(1/2n)^2+C(n,3)(1/2n)^3+……+(1/2n)n
因为C(n,k)(1/2n)^k=(1/2)^k*C(n,k)/n^k=(1/2)^k*n!/[k!(n-k)!*n^k]
=(1/2)^k*[n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!n^k]
=(1/2)^k*[1*(1-1/n)(1-2/n)…（1-(k-1)/n)]/k!
＜(1/2)^k*[1*1*1…*1/k!]=(1/2)^k
因此(1+1/2n)^n＜1+1/2+(1/2)^2+……+(1/2)^n=2-2*(1/2)^(n+1)＜2
而(1+1/2n)^n≥1+C(n,1)*1/2n=3/2
等号当且仅当C(n,1)以后项不存在,即n≤1,即n=1时成立
因此原不等式成立3/2≤(1+1/2n)^n＜2