(y+√(y^2+x^2))dx-xdy=0,y(1)=0

题目

(y+√(y^2+x^2))dx-xdy=0,y(1)=0

答案

由
[y+√(y²+x²)]dx-xdy=0可以得到
dy/dx=y/x +√(y²/x²+ 1)
这时令y/x=u,
那么y=ux,dy/dx=u+x*du/dx,
代入得到
u+x*du/dx=u+√(u²+ 1)
那么
du / √(u²+ 1) = dx /x
两边积分得到
ln|u+√(u²+ 1)| =lnx +C,
x=1时,y=0即u=0,代入得到C=0
所以
u+√(u²+ 1)=x
即
y+√(y²+x²)=x²
化简得到方程的解为：
y=(x²-1)/2