求函数y=x+根号下1-2x的取值范围

题目

求函数y=x+根号下1-2x的取值范围

答案

对y=x+根号下(1-2x)求导,得
y‘=x'+[(1-2x)^(1/2)]'=x'+(1/2)×(1-2x)^(-1/2)×(1-2x)'=1+(-2)/[2(1-2x)^(1/2)]=1-1/[(1-2x)^(1/2)]
当y'≥0时,y'为递增函数,即1-1/[(1-2x)^(1/2)]≥0,即x≤0
当y'≤0时,y'为递减函数,即1-1/[(1-2x)^(1/2)]≤0,即x≥0
∴当x等于0时,y取得最大值
即y(max)=0+根号下(1-2×0)=1
∴函数y=x+根号下1-2x的取值范围为(-∞,1]