(x-arcsinx)/x^2sin3x在x=0取极限

题目

(x-arcsinx)/x^2sin3x在x=0取极限

答案

等价无穷小代换,sin3x等价于3x
原式=lim[x→0] (x-arcsinx)/(3x³)
洛必达法则
=lim[x→0] [1-1/√(1-x²)]/(9x²)
=lim[x→0] [√(1-x²)-1]/[9x²√(1-x²)]
等价无穷小代换：(1+x)^a-1等价于ax,因此√(1-x²)-1=(1-x²)^(1/2)-1等价于-(1/2)x²
=lim[x→0] [-(1/2)x²]/[9x²√(1-x²)]
=-1/18
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