请问老师,如何证明分块对角矩阵的秩=对角块的秩之和?

题目

请问老师,如何证明分块对角矩阵的秩=对角块的秩之和?
我知道应该用极大线性无关组的知识,但是不知道怎么去运用……

答案

比如说A=diag{A1,A2}, r(A1)=r, r(A2)=s
先取可逆阵P1,Q1,P2,Q2使得A1=P1D1Q1, A2=P2D2Q2
其中D1=diag{I_r,0}, D2=diag{I_s,0}
那么A=diag{P1,P2}*diag{I_r,0,I_s,0}*diag{Q1,Q2}
容易看到r(A)=r(diag{I_r,0,I_s,0})=r(diag{I_{r+s},0})=r+s
直接用极大无关组也可以
先取A1的列的极大无关组{u_1,...,u_r}以及A2的极大无关组{v_1,...,v_s}
那么把它们适当补0之后（比如[u_1^T,0]^T, [0,v_1^T]^T）可以得到A的列,用定义验证这些列是线性无关的,并且A的每一列都可以由它们线性表示
如果有多个对角块,把第一块作为A1,余下的作为A2,对A2用归纳法