如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点． （1）求证：PA∥平面BDE； （2）求证：平面PBC⊥平面PDC．

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点．

（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．

答案

证明（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO．
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又E为PC中点．∴PA∥EO．
又EO⊂面BDE，PA⊄面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，由三角形的中位线定理可得OE＝

1

2

PA＝1，
而BD=2，∴OE＝

1

2

BD．
又O为BD的中点，
∴∠BED=90°，即BE⊥DE．
又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC．
又PC∩DE=E，
∴BE⊥面PDC，又BE⊂面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC．