如图,在三角形ABC中,角ABC=45°,点D在边BC上,角ADC=60°,且2BD=CB.将三角形以直线AD为轴做轴对称变换

题目

如图,在三角形ABC中,角ABC=45°,点D在边BC上,角ADC=60°,且2BD=CB.将三角形以直线AD为轴做轴对称变换
得到三角形AC'D,连接BC'.(1)求证：BC'⊥BC；（2)求∠C的大小

答案

（Ⅰ）∵△AC'D是△ACD以AD为轴对称变换得到的,
∴△AC′D≌△ACD．
有C′D=CD,∠ADC′=∠ADC．
∵BD= 12CD,∠ADC=60°,
∴BD= 12C′D,∠BDC'=180°-∠ADC′-∠ADC=60°．
取C'D中点P,连接BP,则△BDP为等边三角形,△BC′P为等腰三角形,
有∠BC′D= 12∠BPD= 12∠BDC′=30°．
∴∠C'BD=90°,
即BC′⊥BC．
过点A分别作BC,C'D,BC'的垂线,垂足分别为E,F,G．
∵∠ADC'=∠ADC,即点A在∠C′DC的平分线上,
∴AE=AF．
∵∠C'BD=90°,∠ABC=45°,
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°,
即点A在∠GBC的平分线上,
∴AG=AE．
于是,AG=AF,则点A在∠GC′D的平分线上．
又∵∠BC′D=30°,有∠GC'D=150°．
∴∠AC′D= 12∠GC′D=75°．
∴∠C=∠AC′D=75°．