已知数列{an}的前n项和Sn满足S1=-1,Sn+1+2Sn=-1(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=3n-4(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在圆心在x轴上的圆C
题目
已知数列{an}的前n项和Sn满足S1=-1,Sn+1+2Sn=-1(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=3n-4(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k,使得三点An(bn,an),Am(bm,am),Ak(bk,ak)落在圆C上?请说明理由.
答案
(I)∵S
n+1+2S
n=-1,∴S
n+2+2S
n+1=-1,
两式相减整理得a
n+2=-2a
n+1,
又a
1=S
1=-1,a
2=-2a
1,
∴数列{a
n}是首项为-1,公比为-2的等比数列,
其通项公式是a
n=-(-2)
n-1(n∈N
*).
假设点列{A
n(b
n,a
n)}中存在三点A
n(3n-4,-(-2)
n-1),A
m(3m-4,-(-2)
n-1),A
k(3k-4,-(-2)
k-1)(n>m>k≥1)落在圆C上.
因圆心C在x轴上,故可设圆C的方程为:x
2+y
2+Dx+F=0.…(10分)
从而9n
2-24n+16+4
n-1+(3n-4)D+F=0 ①
9m
2-24m+16+4
m-1+(3m-4)D+F=0 ②
9k
2-24k+16+4
k-1+(3k-4)D+F=0 ③
由①-②,②-③得9(n+m)(n-m)-24(n-m)+(4
n-1-4
m-1)+3(n-m)D=0 ④
9(m+k)(m-k)-24(m-k)+(4
m-1-4
k-1)+3(m-k)D=0 ⑤
由④-⑤整理得9(n-k)+
[•(−)+(n-m)]=0,
∵n>m>k≥1,∴设函数f(x)=
,(x≥1),由f′(x)=
>0,
知函数f(x)=
,(x≥1),是增函数.产生矛盾.
故点列{A
n(b
n,a
n)}中不存在三点落在圆C上.
(I)Sn+1+2Sn=-1,再写一式Sn+2+2Sn+1=-1,两式相减整理得an+2=-2an+1从而可知数列{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,故可求其通项公式
(II)假设存在,利用圆心C在x轴上,故可设圆C的方程为:x2+y2+Dx+F=0,代入化简可证.
数列递推式.
本题主要考查数列通项公式的求解,以及数列和函数的综合应用,运算量较大,综合性较强,是个难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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