各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是 _ ．

题目

各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₁≥1，a₂≤2，a₃≥3，则a₄的取值范围是 ___ ．

答案

设等比数列的公比为q，根据题意得：

a1≥1 a2=a1q≤2 a3=a1q2≥3 a4=a1q3

，
∴各不式的两边取常用对数，得

lga1≥0 lga1+lgq≤lg2 lga1+2lgq≥lg3 lga4=lga1+3lgq

令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t
将不等式组化为：

x≥0 x+y≤lg2 x+2y≥lg3 t=x+3y

，
作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部
其中A（0，lg2），B（2lg2-lg3，lg3-lg2），C（0，

1

2

lg3）
将直线l：t=x+3y进行平移，可得
当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=-lg2+2lg3取得最小值
∴t=lga₄∈[-lg2+2lg3，3lg2]，即lga₄∈[lg

9

2

，lg8]
由此可得a₄的取值范围是[

9

2

，8]
故答案为：[

9

2

，8]

根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga₁和lgq的一次不等式组，换元：令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a₄的取值范围．

本题考点：简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．

考点点评：本题给出等比数列，在已知a₁≥1，a₂≤2，a₃≥3的情况下求a₄的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．